Penyelesaian 7 Metode Menggunakan MATLAB

1.     Metode Eliminasi Gauss

2.     Metode Eliminasi Gauss Jordan

3.     Interpolasi

°        Intepolasi Linier

°        Interpolasi Kuadratik

°        Interpolasi Polinomial

4.     Metode Biseksi

5.     Metode Regulasi Falsi

6.     Metode Newton-Raphson

7.     Metode Secant

1.   Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode  eliminasi, yaitu menghilangkan atau megurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut : 

Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

a.       Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

b.       Baris nol terletak paling bawah 

c.       1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya

d.       Dibawah 1 utama harus nol

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

1.      Mengubah posisi letak baris.

2.      Mengalikan suatu baris dengan bilangan tidak 0 (nol).

3.      Menjumlahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.

Contoh Soal

Selesaikan sistem persamaan  berikut dengan Metode Eliminasi Gauss:
x + y + 2z = 9
2x+4y - 3z = 1
3x+6y - 5z = 0

Note: penyelesaian secara manual di kertas*

Penyelesaian menggunakan MATLAB

Pada command window, ketikkan edit 

Tekan Enter, maka akan muncul layar editor, tuliskan listing program seperti dibawah ini :

clc;

clear;

disp('Solusi dari persamaan: x + y + 2z = 9')

disp(' 2x+4y - 3z = 1')

disp(' 3x+6y - 5z = 0')

disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss')

A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]

disp('Baris 2 = -2 kali Baris 1 + Baris 2')

A(2,:)=-2*A(1,:)+A(2,:)

disp('Baris 3 = -3 kali Baris 1 + Baris 3')

A(3,:)=-3*A(1,:)+A(3,:)

disp('Baris 2 = Baris 2 bagi 2')

A(2,:)=A(2,:)/2

disp('Baris 3 = -3 Baris 2 + Baris 3')

A(3,:)=-3*A(2,:)+A(3,:)

disp('Baris 3 = -2 kali Baris 3')

A(3,:)=-2*A(3,:)

z=A(3,4)

y=A(2,4)-z*A(2,3)

x=A(1,4)-(A(1,2)*y+A(1,3)*z)

Kemudian pilih Save and Run, Maka hasil Output nya seperti tampilan dibawah ini:

Jadi, dari penyelesaian diatas, diperoleh hasil:

x = 1

y = 2

z = 3

2.     Metode Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A. mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriksidentitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks.

Dasar Teori : Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:

Contoh Soal

Selesaikan sistem persamaan  berikut dengan Metode Eliminasi Gauss Jordan:

x + y + 2z = 9

2x+4y - 3z = 1

3x+6y - 5z = 0

Note: penyelesaian secara manual di kertas*

Penyelesaian menggunakan MATLAB

-          Pada command window, ketikkan edit 

-          Tekan Enter, maka akan muncul layar editor, tuliskan listing program seperti dibawah ini :

clc;      

 clear;

disp('Solusi dari persamaan:        x + y + 2z = 9')

disp('                              2x+4y - 3z = 1')

disp('                              3x+6y - 5z = 0')

disp('Menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan')

A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]

    disp('Baris 1 = Baris 1 bagi baris 1 kolom 1')

A(1,:)=A(1,:)/A(1,1)

disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 1 kali baris 1 + Baris 2')

A(2,:)=-A(2,1)*A(1,:)+A(2,:)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 1 kali baris 1 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,1)*A(1,:)+A(3,:)

disp('Baris 2 = Baris 2 bagi baris 2 kolom 2')

A(2,:)=A(2,:)/A(2,2)

disp('Baris 3 = - Baris 3 kolom 2 kali baris 2 + Baris 3')

A(3,:)=-A(3,2)*A(2,:)+A(3,:)

disp('Baris 3 = Baris 3 bagi baris 3 kolom 3')

A(3,:)=A(3,:)/A(3,3)

disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 2 kali baris 2 + Baris 1')

A(1,:)=-A(1,2)*A(2,:)+A(1,:)

disp('Baris 2 = - Baris 2 kolom 3 kali baris 3 + Baris 2')

A(2,:)=-A(2,3)*A(3,:)+A(2,:)

disp('Baris 1 = - Baris 1 kolom 3 kali baris 3 + Baris 1')

A(1,:)=-A(1,3)*A(3,:)+A(1,:)

disp('Dengan demikian, diperoleh:')

x1=A(1,4)

x2=A(2,4)

x3=A(3,4)

Kemudian pilih Save and Run, Maka hasil Output nya seperti tampilan dibawah ini:

Jadi, dari hasil penyelesaian, diperoleh nilai:

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

1.     Interpolasi

Mempelajari berbagai metode Interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Metode Interpolasi ada beberapa macam yaitu:

a)      Interpolasi Linier

b)      Interpolasi Kuadratik

c)      Interpolasi Polinomial

a)      Interpolasi Linier

            Menentukan titik-titik antara 2 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus.

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan:   

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut:

Algoritma Interpolasi Linier :

1.   Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2).

2.      Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari.

3.      Hitung nilai y dengan : y =

4.      Tampilkan nilai titik yang terbaru.

Contoh Soal

Cari nilai y untuk titik x=2.1 yang berada diantara titik(1,1.5) dan(3,2.5)

Jawab:

P1(1,1.5) dan P2(3,2.5); x=2.1

         Y₂-Y₁

Y =                   (x-X₁) +Y₁

          X₂-X1                                               

   2.5 – 1.5 

=                   (2.1 - 1) + 1.5

     3 – 1

= 2.05

Titik terbaru adalah P3(2.1,2.05)

Penyelesaian menggunakan MATLAB

-          Pada command window, ketikkan edit 

-          Tekan Enter, maka akan muncul layar editor, tuliskan listing program seperti dibawah ini :

clear;

clc;

disp('program interpolasi untuk linier');

disp('================================');

x=input('masukkan nilai x= ');

x1=input('masukkan nilai x1= ');

x2=input('masukkan nilai x2= ');

y1=input('masukkan nilai y1= ');

y2=input('masukkan nilai y2= ');

y=((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1)+y1;

disp(['nilai y= ', num2str(y)]);

Kemudian pilih Save and Run, Maka hasil Output nya seperti tampilan dibawah ini:

b)      Interpolasi Kuadratik 

Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.